「我们就像在用磁铁找东西，但磁铁根本没法吸住干草，所以你能找到的就只有针了。」

编译 | 一块肉饼

“这简直就像是在干草堆里找一根干草。”[1]

当我第一次从一位数学家口中听到这话时，我们正在通电话，讨论如何寻找具有特定特征的某种形状——我想，这家伙一定口误了。

“你是想说，就像在干草堆里找一根针，对么？”我几乎脱口而出。

但他把刚刚的话又重复了一遍。

在数学中，最套路的思维方式往往会深深留在人们脑中。和我谈话的那位数学家是来自肯塔基大学（University of Kentucky）的Dave Jensen。他的的确确就是在说“在干草堆里找干草”。他试图用这样一个短语来描述数学研究中一个奇怪的事实：有时候，最普通的东西最难找。

“在数学的许多领域里，你都在寻找某种事物的例子。这样的例子数不胜数。但每当你想把它写下来的时候，就会发现自己弄错了。”Jensen说道。 

早在我们孩提时代初学数学时，“干草堆里找干草”的现象就已经出现了。数轴（此处特指实数轴）上的点包括正负整数（如2，-29），有理数（如32/1137），以及所有的无理数（如π和根号）。无理数占据了数轴上许多、许多的空间——事实上，如果要在数轴上随机挑选一个数，100%你会得到一个无理数。

为什么是100%而不是99.9%？当“无穷”这个东西出现在概率中时，奇怪的事情就发生了。二十世纪初，法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesque）提出了一种“测量手段”，让人们能够面对“无穷种可能性”时也能在数学层面上严格地计算概率。这种方法被称为勒贝格积分。

但即便无理数压倒性地存在于世，我们却几乎从未在日常生活中遇见它们。我们用整数进行计数，用分数解决问题。我们最熟悉的数字其实都是数轴上的稀客——干草堆里头的针。

正因为干草过于普通，才难以被找到。有理数的特征是，它们可以被准确地写下来，从而引起人们的注意。而无理数有无穷尽的小数位，即便你有无穷尽的时间，也不可能把它们全写下来。这些无理数缺少的恰恰是一种无以伦比的性质：“可写性（write-down-able-ness）”——这是它们“隐形”的秘诀。

“我们就像在用磁铁找东西，但磁铁根本没法吸住干草，所以你能找到的就只有针了。”数学家Dhruv Ranganathan如是说。

“找干草”这件事其实出现在数学的众多领域里。在极少情况下，物体可以用简单的公式来表示：直线，抛物线，圆形和球体。它们就是“针”，也为我们所熟悉。

但成百上千的图形拒绝被如此优雅的方式所代表。它们可能出现在任何地方，但因为你无法建立公式去描述它们，你便无法证明它们中的任何一个是否真的存在，哪怕一个都不能。

数学中有一个叫做“热带几何（tropical geometry）”的领域，是代数几何中的一个重要分支。它首次由巴西数学家、计算机科学家 Imre Simon 于 1980 年代提出。“热带”一词来自于当时数学界对巴西的刻板印想。热带几何为我们提供巧妙而狡猾的方法，来推断这些无所不在且又如无理数一般“普通”的几何图形——写不出来也好，画不出来也罢，它们一直都在那里。

人们常常会遇到“要么这个东西存在”和“要么这个东西不存在”这样非黑即白的情况。虽说很难去判断那些“普遍”的东西的存在与否，但如果你是一个数学家，你相信它们是存在的，相信它们具有组成任何事物的能力，你的任务就非常简单：找一个出来吧。

Ranganathan说道，“这就像你坚信大海里都是水。但每当去取海水的样品时，得到的却是些出乎意料的东西：贝壳、石头还有海藻。但是坚持你的设想，不代表你要把整个海都掏个干净。你需要做的有且只有一件事——找到水，一滴就足够了。”

[1] 原文为“It’s like looking for hay in a haystack.” 这句英文俚语常被翻译为“大海捞针”。但有趣的是，在本文中，“针”反而是最容易被找出来的。

参考资料

https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-cant-find-the-hay-in-a-haystack-20180917/

https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue

https://en.wikipedia.org/wiki/Tropical_geometry

https://www.quantamagazine.org/tinkertoy-models-produce-new-geometric-insights-20180905/

文章头图及封面图片来源：《芝麻街》

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