索末菲老师教书是物理数学融合在一起的，关键是他还能实验物理和理论物理一起教。索末菲的教学应该是深刻地影响到了不少人。他的教学非同于一般的教书匠，其教科书里融入了自己的理解还有自己对学术的贡献。索末菲对物理学的贡献是多方面的，即便面对爱因斯坦这样的人物，也未必逊色多少。

编者注：本文中的“大-师”，为英文MacTutor的对应说法，为区别于master的“大师”，本文作者作了特别处理，特此说明。

撰文

曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

大师之 maestro 者，有常人不可企及之能耐者也，如西洋艺术家达·芬奇、米开朗基罗之流；大-师之 MacTutor 者，有不少 maestro 级桃李者也，如吾国之吴大猷先生。桃李之中有不少 maestros 且自己是 maestro 者，乃为 MacTutor of maestros，大师之大-师者也。中国人中若论大师之大-师，鬼谷子老师算一个。其本人的学问通天彻地，其弟子如苏秦、张仪等也都有经天纬地之才。这种人逼我们绞尽脑汁去夸他们，我们还真想出一个形容词，叫“不世出”。

就物理学而论，此领域中人才辈出、高手如林，可称为大师（maestro）者众。能称为大师之大-师者也有，俄国的朗道、德国的玻恩、意大利的费米，都是一时之选。他们自己是学术大师，门下弟子也都出类拔萃，像朗道还成就了一个学派。与此相对，牛顿、外尔、爱因斯坦等人就只是大师, 却不是大师之大-师，似乎连冒名、私淑的弟子都没有，这可能是因为他们太高，别人实在是高攀不上的缘故。求学之人，最大的幸运莫如能遇到大师之大-师了，就算自己不能因此就成为大师，那至少还有一帮子maestro级的师兄弟，则与人攀比时何其有底气乃尔！

二十世纪上半叶，德国慕尼黑大学，就有一位门下 maestros 众多堪称大师之大-师的物理老师，那就是索末菲（Arnold Sommerfeld）。

索末菲，1868年出生于普鲁士的柯尼斯堡（注：这个镇子现在是俄罗斯的飞地。这个镇子出的人能覆盖数学、物理、哲学的半边天），读书时遇到的物理老师有 Carl Gustav Jacobi，数学老师有 David Hilbert, Ferdinand von Lindemann，以及  Adolf Hurwitz. 1891年，索末菲23岁上凭借数学物理中的任意函数方面的研究在老家获得博士学位。1893年服完兵役后，索末菲到了哥廷恩大学，自1894年起给数学家 Felix Klein 作助手，然后凭借衍射的数学理论获得了一个数学无俸讲师（Privatdozent）的职位（图1）。1906年，索末菲到慕尼黑大学任理论物理教授，接下来的岁月里他把慕尼黑大学打造成了重要的理论物理中心。1935年索末菲退休，此后还继续任教到1940年。1951年索末菲因车祸去世。

图1. 索末菲， 1897年于哥廷恩

索末菲老师是理论物理教授，那是要教书的（图2）。索末菲老师讲课是否受学生欢迎，不得而知，但是讲课的水平却是有著作可资为证的。索末菲的著作包括四卷本《圆的理论》、《原子结构与谱线》、《波动力学之增补版》和六卷本的《理论物理教程》（卷1力学；卷2可形变介质的力学；卷3电动力学；卷4光学；卷5热力学与统计；卷6物理中的偏微分方程）。可以看出，索末菲老师教书是物理数学融合在一起的, 关键是他还能实验物理和理论物理一起教。索末菲的教学应该是深刻地影响到了不少人，他的学生泡利有样学样，后来也有一套《泡利物理学讲义》。

图2. 1937年，年届七十、名满天下的索末菲教授在上课

索末菲老师的教学非同于一般的教书匠，他的教科书里融入了自己的理解还有自己对学术的贡献。索末菲对物理学的贡献是多方面的，即便面对爱因斯坦这样的人物，也未必逊色多少。

同索末菲名字联系在一起的物理内容包括： 

1. Drude–Sommerfeld 模型，即关于金属导电的自由电子理论。索末菲把费米统计结合入了经典的Drude模型；

2. 原子的精细结构  。常数 α 可理解为一定距离的两电子间的库伦势能同该距离对应波长的光子能量之比。这个常数描述相对论效应对电子能级的影响，进而反映在原子谱线的精细结构上。这个公式(自然单位制下的形式)被刻在索末菲的塑像上 (图3)；

3. 索末菲恒等式。这是一个关于球面波展开的一个公式；

4. Sommerfeld–Kossel位移定律。它说的是一次离化的原子之谱线结构与周期表中前一个元素的中性原子的谱线在细节上也是一样的。这是在对原子谱线研究的基础上提出来的； 

5. Sommerfeld–Wilson 量子化。玻尔量子化把氢原子在一个平面内处理， 它要求角动量量子化 ，从而得到  形式的量子化能级。Sommerfeld–Wilson 量子化把电子当成三维系统处理，其结果是若角动量 ，其能量为  的形式。简单说来，能量和角动量牵扯到的是不同的量子数。如今关于原子中电子能量表示的量子数为 ，其中的角动量量子数和自旋量子数都是索末菲引进的。

图3. 刻有精细结构常数表达式的索末菲塑像

从上述的成就清单，读者可以自行判断索末菲在物理学上的地位，尤其是在原子物理和量子力学方面的地位。其实，早在索末菲于1916年提出精细结构常数之前，索末菲就已经是当时欧洲知名的物理学家了，这可从他参加了1911年的索维尔会议得到佐证（图4）。 

图4. 索末菲，1911年索尔维会议

大-师者（MacTutor），肚里是否有货能教给别人，要靠出类拔萃的学生来加以佐证。索末菲的博士生包括 Werner Heisenberg，Wolfgang Pauli，Peter Debye，Paul Sophus Epstein，Hans Bethe，Ernst Guillemin，Karl Bechert，Paul Peter Ewald，Herbert Fröhlich，Erwin Fues，Helmut Hönl，Ludwig Hopf，Walther Kossel，Adolf Kratzer，Alfred Landé，Otto Laporte，Wilhelm Lenz，Rudolf Peierls，Walter Rogowski，Rudolf Seeliger，Heinrich Welker，Gregor Wentzel 等人，博士后则有 Herbert Kroemer，Linus Pauling，Walter Heitler，Werner Romberg 等人，其中不乏大师（maestro）级的人物。这里面，海森堡（Werner Heisenberg）因为参与构造矩阵力学而获得1932年度的物理诺奖，其为人称道的是不确定性原理，其实愚以为最见物理功底的工作是交换作用的提出；泡利因发现不相容原理（确切说是从二值性到电子自旋的发现，给出泡利矩阵，而那是狭义相对论的一个度规）而获得1945年度的物理诺奖，他还预言了中微子的存在；德拜（Peter Debye）获得1936年度的化学诺奖，名字见于关于固体比热的德拜模型和X-射线衍射的Debye-Waller 因子；贝特 (Hans Bethe) 获得1967年度的物理诺奖, 名字见于 Bethe-Ansatz（注：预设解形式的方程解法）; 爱瓦尔德（Paul Peter Ewald）的名字见于X-射线衍射理论里的爱瓦尔德球；弗洛里希（Herbert Fröhlich）的名字见于 Fröhlich 极化子等概念，该人曾两次获得物理诺奖提名；朗德（Alfred Landé）解释了塞曼效应，名字见于 Landé 因子；楞次（Wilhelm Lenz）发明了伊辛模型，名字见于 Laplace-Runge-Lenz 矢量；派尔斯（Rudolf Peierls）的名字见于 Peierls-Hubbard 模型和 Peierls 相变；Gregor Wentzel 对量子力学和量子场论都有贡献，名字见于量子力学中那个著名的 WKB 近似； Herbert Kroemer 因发明半导体异质结获得2000年物理诺奖；Linus Pauling 因化学键理论获得1954年化学诺奖，此后于1962年度获得诺贝尔和平奖；Walter Heitler 对量子电动力学和量子场论都有贡献，是他把量子力学引入了化学；等等。 数一数，共有物理诺奖4个，化学诺奖2个，和平奖1个。有文献说 Isidor Isaac Rabi 也是索末菲的博士后，而该人是1944年度的物理诺奖得主。但是，但是，索末菲本人成就那么高，本人却始终与诺奖无缘，据说共被提名81次（注：见 wiki 的 Sommerfeld 条目，不知道怎么统计的）。有趣的是，居里夫人却获得一次物理奖，一次化学奖。其实，也不奇怪，人类的评奖总不过是人类的行为，那些人连爱因斯坦都不想给呢！如果不是爱因斯坦名气太大，估计人家也不给他诺奖，不得已给了，结果也是1922年补1921年的缺，而且是用爱因斯坦成就中最微不足道的关于光电效应实验的解释，对他在相对论、量子力学方面的众多成就愣是视而不见。好在人类的物理学史上不缺关于自己的浓墨重彩的一笔，索末菲多少应该感到一丝安慰吧！

学术之大师也多是俗人，一般样地见钱眼开、攀附权贵，中外概莫能外。人们常虚构某某学术大师如何如何脱俗，盖源于脱俗之不易。李白才高八斗，一心想谋个官做，夤缘权贵的作品估计自己看了都恶心。拉普拉斯何等自信，其天体力学中可以无视上帝的位置，但为了弄个官做，对自己的学生拿破仑皇帝那是诚惶诚恐。牛顿的学术地位何其高也，也当了多年的皇家造币厂厂长。我们的大师的大-师索末菲教授，晚年弄了个枢密顾问（Geheimrat）的头衔，加上其坚毅、古板的面孔配以八字胡，那是相当的老派（图5），海森堡称其为 Husarenoberst（轻骑兵上校）。索末菲对官职的在意成就了这个无趣的德国人身后留下的一桩趣事。

图5. 索末菲，1935年于斯图加特

据说美国人、固体物理学家范弗列克（John Hasbrouck Van Vleck）当年在慕尼黑物理研究所学习时，某天在图书馆看到索末菲也进来了。范弗列克从座位上抬起身，礼貌地问候索末菲：“Guten Morgen Herr Sommerfeld（早上好，索末菲先生！）”（注：这句话按照美国标准是礼貌，按照德国标准是非常不礼貌） 索末菲只是不情愿地哼了一声。第二天同样的情景，范弗列克的问候变成了 Guten Morgen Herr Professor（早上好，教授先生）！ 对此索末菲脸上露出了一丝笑容。第三天，俩人又在图书馆遇上了，范弗列克的问候是 Guten Morgen Herr Doktor（早上好，博士先生）！索末菲这次回以 Guten Morgen（早上好）。第四天，范弗列克的问候变成了 Guten Morgen Herr Geheimrat（早上好，枢密顾问先生）！索末菲非常高兴，赞许地对这位留学生说道：“ Aber Ihr Deutsch wird mit jedem Tag besser （（小同志，）你的德语每天都有进步噻）！”

当年邓艾入蜀，见了诸葛亮的八卦阵，感叹“恨不能师事之！”为学之人，还有比错过名师更郁闷的吗？有，就是遍寻故国没见过名师。什么时候，俺们的年轻学子们也能遇到索末菲这样的大师的大-师，也不枉曾经读过什么硕士、博士。

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