前文提到：欣赏数学之美需要了解的过程和鉴别的能力，如果你从不曾走进数学的世界，用心领会和感悟那数字、图形、逻辑的出神入化，又怎么会觉得它美妙呢？！而数学的另一个特点，则是数学之真。来看数学家袁亚湘院士如何诠释数学的真谛吧！

撰文 | 袁亚湘

数学的另一个特点是真。

数学的本质就是发现规律、寻找真理。我们之所以称数学的证明是严格的，是因为这些证明都是基于已有的结果、通过严谨的逻辑推理得到的。亚里士多德说过，“要了解某事，必须追根溯源”。但是，从哲学的观点看，对任何结论的刨根问底，最终总会归于一些无法证明的、最基本的假设，也就是公理。公理通常是一些显而易见、符合人们直觉的假设，它也是数学的基石。

目前，中小学生接触到的几何都是欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330年-公元前275年）几何，其主要内容大多源自欧几里得的名著《几何原本》。欧几里得在书中给出了五条公设，这些公设是不能被证明但假定它们都是正确的。1899年，数学家希尔伯特出版了著名的《几何基础》，他在该书中对欧几里得几何及有关几何的公理进行了系统而深入的研究，为欧几里得几何提供了完善的公理体系。基于欧几里得的五条公设，通过整理和严格化处理，希尔伯特给出了欧几里得几何的五组公理。

希尔伯特（1862-1943）与1899年版《几何基础》 

在这五组公理中，平行公理看起来不像公理而更像一个定理。历史上不少数学家试图利用其它的四条公理去推导平行公理，但都没有成功。希尔伯特证明了平行公理与前四组公理之间是相互独立的。即利用其它四组公理既不能证明平行公理的正确性，也不能说明它是错误的。

你还记得平行公理吗？

事实上，如果把平行公理用不同的假设替换，就会得到不同的几何，我们称其为非欧几何。特别是：如果把平行公理换成“过直线外一点，存在至少两条直线与其平行”，则会得到罗巴切夫斯基几何（也称双曲几何）；而把平行公理替换成“过直线外一点，不存在直线与之平行”则会得到黎曼几何（也称球面几何）。罗巴切夫斯基是俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一，曾任喀山大学（也是列宁的母校）校长。黎曼是德国数学家，目前数学领域公认的、最负盛名且悬而未决的世界难题“黎曼猜想”就是由他提出的。

罗巴切夫斯基纪念像（1792-1856）及双曲几何示意图

黎曼几何以及在此基础上发展的微分几何对爱因斯坦提出广义相对论具有重要的启发作用，也为广义相对论的研究和发展提供了有力的工具。

数学的真也体现在它的严密逻辑。正所谓：无逻辑，不数学。这也解释了为什么古希腊的数学家大多都是哲学家，古希腊哲学乃至西方哲学，都建立在严密的逻辑演绎推理之上，哲学家是用数学的思维方法去论证哲学问题。

爱因斯坦曾说过：“纯数学是逻辑的诗歌”。爱因斯坦和数学有着千丝万缕的关系。他和很多数学家保持通信联系，其中之一是意大利数学家列维·奇维塔。奇维塔还曾帮助爱因斯坦修正他文稿中的一些错误。为此，爱因斯坦对奇维塔大为赞叹：“我欣赏他优美的推导方法：比起我们不得不用脚艰难地走，骑上数学的骏马在原野奔跑是多好啊！”有人认为，爱因斯坦不仅是个物理学家，也是一个数学家。事实上，很多理论物理学家也是顶尖的数学家。爱因斯坦和数学还有一个特别的缘分，他的生日是3月14日，如今的国际数学节。

爱因斯坦（1879-1955）与列维·奇维塔（1873-1941）    

在数学上，逻辑关系是通过集合来刻画和解释的。例如，若命题甲为真，则记为集合A，命题乙为真，记为集合B。则集合A和B的交集就是命题甲和乙同时为真。举个日常生活中的例子：定义集合A是由班上所有语文考满分的同学组成，集合B由班上所有数学考满分的同学组成，则集合A和B的交集就是班上所有语文、数学同时考满分的同学，而集合A和B的并集则是班上语文、数学中至少一门考了满分的同学。这些都是集合论的内容。而集合论的创始人则是出生在俄国圣彼得堡的德国数学家康托。

康托（1845-1918）及他所创立的集合论

二十世纪初，数学家罗素发现朴素集合论存在悖论。罗素悖论用通俗易懂的语言来描述即是广为人知的“理发师悖论”：在某个城市里有一位理发师，他宣称“为城里所有不给自己刮脸的人刮脸，且只为他们刮脸”。现在的问题是该理发师是否要给他自己刮脸？如果理发师不给自己刮脸，那么根据定义，他属于“不给自己刮脸”的人，所以他应该给自己刮脸；如果理发师给自己刮脸，那么他就不属于“不给自己刮脸”的人，由于他只给“不给自己刮脸的人”刮脸，所以他不能给自己刮脸。无论哪种情况都会导致矛盾。

罗素悖论所引发的思考，刮脸只是一个具象

罗素悖论的发现促进了人们对集合论基础的深入研究，推动了公理化集合论的发展。集合论最有代表性的公理体系是由策梅洛提出、经弗兰克尔完善和补充后形成的ZF公理系统。

策梅洛（1987-1953）与弗兰克尔（1891-1965）

数学的真还表现在它的所有证明都非常严格，容不得任何含糊不清。法国数学家韦伊曾说过：“严格之于数学家，有如道德之于人” ，可见数学中严格的重要性。韦伊是布尔巴基学派的创始人及早期领导者，他在数论和代数几何方面都有奠基性的工作。他的妹妹是著名的哲学家西门娜·韦伊。兄妹俩在各自的领域都成就斐然。

韦依（1906-1988）

也许有读者会有疑问，既然所有的数学结论都建立在不能证明的公理上，那是否说明数学不是科学，而是一种信仰？数学毫无疑问是科学，它不仅是最“科学”的科学，而且也是一种哲学。数学正是从哲学的高度认识到，严谨的推理一定要基于更基本的结论，而这些结论应当是已经被证实的，或者作为公理默认正确的。数学中的一些基本公理正是数学大厦坚实的地基。

不过，承认无法证明的公理体系，这自然是一种信仰。数学在给定的公理体系下追求真理，不断揭示新的关系、探索新的问题、寻找新的解决方法。从某种意义上讲，这就是一种信仰。

注：本文节选自《数学漫谈》一书，作者袁亚湘，赛先生获授权转载，略作编辑。