撰文 | 张天蓉

责编 | 宁    茜、吕浩然

众所周知，我们生活的空间是3维的，也就是通常所说的“前后（Y轴）、左右（X轴）、上下（Z轴）”3个不同的方向。如果再加上时间这一维度的话，也可以说，我们的世界是一个4维时空（3维空间+1维时间）。用更为通俗直观的话来说，就是任何发生的事件，需要用4个数值来表示。

例如，有新闻报道说“北京时间2021年1月15日20时32分在（北纬38.43度、东经97.35度、深度9千米）处发生地震。”这儿的“北纬、东经、深度、时间”4个数值，便标志了地震发生的一个4维时空点。

仅就数学意义而言，维度是可以扩展的，多几个维度不过就是多几个描述事件的数值而已。例如上文所指地震发生的事件，除了“北纬、东经、深度、时间”4个“时空点”数值之外，还可以加上“震级”“烈度”“死亡数”等其它参数来描述，这就相当于扩展了事件的维度数。

然而，在超弦论中，并非简单地增加维度，而是认为宇宙的“时空”就是10维的。也就是说，除了1维时间之外，超弦理论认为我们生活的空间是9维的。这是怎么一回事？应该到哪儿去寻找这些多出来的、我们感觉不到的6个空间维度呢？弦论学家们对此的解释是：因为那几个额外的维度被“卷缩”起来并且“隐藏”在了一个非常小的尺度中。或者用专业术语来描述：这些额外维度形成的空间被“紧致化”了。

那么，我们首先梳理一下物理理论中的不同“尺度”。

普朗克尺度（Planck scale）被认为是现代物理中的最小尺度，包括“普朗克尺度”（The Planck length）和 “普朗克时间”（Planck time）。它们标志着现代物理学认为可能测量的最小极限长度和极限时间。它们的数值是：

凡是冠以“普朗克”的物理量，大多数都与量子现象有关。从上面两个公式也可知，普朗克尺度lp和时间tp，均与标志微观量子物理的普朗克常数h（也计作ћ）相关。因此，它们是非常小的数值。到底有多小呢？图2中列出了构成物质的基本单元之尺度大小的比较。例如，从图中显示的数据可知，普朗克尺度（大约10^-33cm）比原子的平均尺度（约10^-8cm）还要小上25个数量级。

图2中标出了原子、质子、电子以及普朗克尺度大约的数量级。由图中可见：弦论中的“弦”，以及空间多余的维度，都卷曲在不可观测的普朗克尺度以下。在如此小的尺度下，通常的物理定律包括现有的量子力学及粒子物理标准模型等，都已经完全失效。引力开始展现量子效应，甚至我们传统上对时间、空间的概念也可能会全盘瓦解。

图2：各种尺度大小比较的示意图

实际上，我们并不清楚小于普朗克尺度范围内的物理规律，因为根据量子力学的不确定性原理，我们无法使用现有的技术，在那么小的尺度做出任何准确测量。

换言之，对小于普朗克尺度范围内物理系统的情况和状态，实验和测量无能为力，科学家们只能发挥及大的想象力来进行大胆的假设和猜测。尽管这样的假设和猜测无法在普朗克尺度范围之内被直接观察和验证，但却可以以此建立适应更大外围空间（普朗克尺度之外）的物理理论。这些理论有可能解决现有理论尚未解决的问题，并且可以间接地被实验证实或证伪。

例如，理论物理的两大支柱：量子和引力，似乎水火不相容。没有现有的理论能将它们很好地统一起来。弦论便是如此应运而生的一种理论，而以上所描述的“卷缩隐藏的维度”，便是弦论学家们所作的基本假设和猜测之一。这也就是为什么即使无法用实验验证，物理学家们仍然孜孜不倦地努力研究弦论，因为他们期待用这个深层模型，克服标准模型和其它量子理论的困难，解决这些物理理论不能解决的问题，将万物统一到一个单一的理论框架中。事实上，这个目标已经完成了一部分，弦论是迄今为止最有希望统一所有相互作用和粒子的物理理论。

在日常生活中，我们只能感受到3维空间和1维时间，却从未观察到多余的“额外维度”。那是因为如刚才说到的，额外的空间维度卷缩隐藏在极小的尺度中。或者用数学的语言说，这些空间是“紧致化”的。

图3：隐藏着的额外1维空间（圆）

空间既然能“卷缩”，必然是弯曲的，如图3中隐藏着的1维圆圈。那么，首先我们要明白什么叫“弯曲的时空”。这需要从爱因斯坦的广义相对论讲起。

广义相对论认为，我们生活的4维时空也是弯曲的，只要有物质存在，时空就会弯曲（图4）。

图4：物质使时空弯曲

因此，从广义相对论的角度看，本文开头将物质和空间分别比喻为“演员和舞台”两种独立实体是不太恰当的。宇宙的实际情况是：物质和时空不可分割、互相影响。物质使得时空弯曲，时空决定了物质的运动。不过，4维时空的弯曲程度比起弦论中额外维度的弯曲，要小得多。所以，在介绍弦论的这几篇文章中，我们可以暂且将我们生活的、并能感受到的4维时空看成平直的，仅仅只考虑极度“弯曲和紧致”的额外6个极小维度。

在物理学中引进额外的、紧致的空间维度，并非从弦论开始，早在1921年就有人试验过了。

爱因斯坦的广义相对论将引力场几何化后，一位德国数学家西奥多·卡鲁扎（Theodor Franz Eduard Kaluza，1885-1954）曾企图将电磁作用也几何化，在4维时空的基础上加上了额外的第五维，以此来容纳与电磁场有关的变量，达到电磁和引力的统一。

根据卡鲁扎的想法，可以将广义相对论使用的4维时空上，加上一个额外的空间维，这一维代表电磁场，应该与电荷q或电磁势A有关系，其中还包括了一个额外的标量场f，这个标量场所对应的粒子被卡鲁扎称之为“radion（放射微粒）”，见图5。

图5：卡鲁扎-克莱因五维时空理论

根据这个五维时空的构想，卡鲁扎可以得到好几组方程式，其中包括等价于爱因斯坦场方程的一组、等价于麦克斯韦方程组的一组，以及关于标量场f的方程。后来，瑞典物理学家奥斯卡·克莱因（Oskar Benjamin Klein，1894-1977）又将此理论纳入量子力学，由此建立了卡鲁扎-克莱因理论（Kaluza–Klein theory）。

如何解释理论中的第五维这个额外维度？卡鲁扎和克莱因认为，我们之所以不能看到第五维空间，是因为它卷曲成了一个很小的圆，这个新颖的想法打开了多维空间之先河，是第一个高维宇宙的模型，影响了之后的物理学家们建立标准模型及弦论时关于额外维度的几何构想。

如图5c（或图3）所示，第五维就像是在原来4维时空中的每一点（图5c中用平面的2维时空网格代替），加上了一个极小的圆圈，当这些圆圈的尺寸太小时，我们就观测不到它的存在，就像在现代的纺织机器织出的某些纤维布料中，我们看不到一些非常小的圈形纤维结构一样，但它们却是真实存在的。物理学家计算出了卡鲁扎-克莱因5维时空中圆圈的大小，只有约为10^-30cm的数量级。

类似圆圈的第五维可以被理解成复数平面上的旋转。实际上，电磁理论就是对应于复数平面上的旋转，这是数学家外尔（Hermann Weyl，1885-1955）后来建立的电磁场与量子化电子场相互作用的规范场的关键模型，后来又被推广到杨-米尔斯理论（Yang-Mills Theory）等。爱因斯坦曾经思考过卡鲁扎-克莱因理论，事实上卡鲁扎最原始的论文就是在他的支持和推荐下得以发表的。但爱因斯坦最终放弃了这个思想，没有在这条路上进一步走下去。

用上一段介绍的对5维模型的理解方式，同样可以理解更多维数的宇宙空间。这些多余的维度，卷曲在人们无法感觉到的微小尺度（比普朗克尺度更小）中，如图6所示。

图6：宇宙空间的额外维度

维数太高的空间是难以直观想象的。如图7所示，0维空间表示一个点，1维是直线，2维是面，3维是体积。到了4维，还可以想象成“体积”的变动，但维数大于4的空间，就不那么直观了。所以我们最终不能只依赖于几何图形，必须从理论上来深入探究：什么是维数？额外维度的意义何在？

图7：维数的几何表示

简单而言，维数是数学中独立参数的数目。所以，维数增加是什么意思呢？是增加了表示某个事物所需要的变量数。从这个意义上来说，我们在日常生活中其实也经常和“高维空间”打交道。例如，要记录一个新生儿出生时的情况，仅仅4个时空数值是远远不够的，除了他的出生地点、年、月、日、时刻之外，还有体重、身长、血型、心跳快慢、呼吸次数等许多数据，这些独立参数的结合，就形成了一个多维空间，每一维都有其物理意义。

物理理论中，几何空间维度的增加，是为了描述更多的对称性。也就是说，是为了描述更多的物理规律，因为物理规律总是和某种对称性联系在一起。例如，当年的卡鲁扎试图统一引力和电磁力而将时空增加到5维。而超弦理论（Superstring Theory）企图统一的，除了引力和电磁力之外，还有强相互作用、弱相互作用以及构成宇宙万物的所有基本粒子，1个额外维度显然包容不了这么多。为了满足所有的对称性要求，使得超弦中的空间额外维度增加到了6维，如图6b所示。

在图3中，我们眼中的电缆线是1维的，但在蚂蚁的眼中，那根电缆线却是2维的，在我们看到的1维电缆上的每一个点，蚂蚁都看见一个额外的“小圈”。

同样的道理可以用来描述弦论的世界：目前，我们只能观测到3维空间，观察、测量到在3维空间中活动的基本粒子。然而，如果存在普朗克尺度以下的“极小”生物的话，它们便可能感觉到9（3+6）维的空间。也就是说，在我们感觉到的3维空间的每一个点，这些小生物都感觉到一个额外的“6维小团”。话说回来，这样的小生物不可能存在，但不妨如此想象一下，或许能帮助我们更好地理解这个额外维度。

这个“6维小空间”具有什么样的物理性质？数学上如何描述它？这就是我们在“这个物理理论未被实验证实，却已对数学产生了极大影响”中曾经提到过的、我们下一篇文章将要介绍的内容——卡拉比-丘空间。

制版编辑 | Morgan