公平的骰子-深度-知识分子
公平的骰子
2019/09/18
斯坦福大学的佩尔西·戴康尼斯 (Persi Diaconis) 教授是举世著名的概率学家。他一生的经历颇为传奇:15岁辍学离家 (并且再也没有回去) ,跟随现代近景魔术的开山鼻祖戴·福农 (Dai Vernon) 学习魔术。魔术师经常要跟纸牌、骰子和硬币打交道。而纸牌,骰子和硬币的运行,往往是由统计学规律所决定的。在研究这些道具的过程中,戴康尼斯对概率统计产生了浓厚的兴趣,于是在几经颠沛流离之后,重新回到学校学习,并从此走上概率论大家的道路。 成名之后的戴康尼斯可谓初心不改。他的研究往往还是以纸牌、骰子和硬币的规律做为引子。比如他最著名的工作,就是研究一副纸牌要洗多少次才可以称得上洗得均匀,证明过程相当复杂,大家只要记住结论就好了——如果用交错洗牌法 (Riffle shuffle) ,一副扑克牌要洗七次才算得上均匀。 这样一位文体两开花的学术大牛,却在某次给本科生上基础数学课程的时候,在他最擅长的方向上栽了个小跟头。当时他正手舞足蹈,绘声绘色地给大家讲解基础几何学领域的一个经典结论:这个世界上,正多面体只有五种:正四面体、正六面体 (正方体) 、正八面体、正十二面体和正二十面体。直觉上,这些正多面体的每一个面都是一样的,因此都可以用来做骰子:正多面体的骰子,任何一个面朝上的概率都会相等。 “所以” ,他得意地总结道, “这个世界上只有五种公平的骰子。” 这个时候,一个本科生举起了小手,说道: “可是我有一个三十面体的骰子。” 教授瞪大了眼睛,说道: “不,你没有。” “我有。” 本科生坚持道。 他的确有一个三十面体的骰子。准确地说,叫做菱形三十面体。 这个骰子有三十个面,每个面都是一样的菱形。每个面也都邻接着其他四个面。因为每个面都是一样的,每个面朝上的概率也均等。这个三十面体的骰子,的确是公平的。 不过,这个骰子并不是正多面体。正多面体,不仅每一个面是一样的,每一条边,每一个顶点都是一样的。如果你认真观察上图的那个骰子,会发现并不是每一个顶点都是一样:面26,27和面30共用的顶点,由三条边交会组成,而面17,18,19,27,和面26共用的顶点,却由五条边交会组成。所以,这个骰子并没有正多面体那么对称。 这个小小的差错,促使戴康尼斯开始思考一个 (看起来并没有什么用的) 问题:那么,这个世界上到底有多少种公平的骰子呢?这个问题等于是问,这个世界上到底有多少种每一个面互相之间都是对称的多面体? 经过一番不算太难的研究,他发现满足面对称的骰子一共有三十种 (或者说三十个族群) 。 故事到这里并没有结束。这三十组骰子,有的比较容易通过技术操控——只要经过训练,把握好初始的投掷的力道和方向,就有可能得到想要的结果。例如抛硬币就比掷六面的骰子容易控制得多。训练好的人,可以做到每一次抛硬币的结果都一样;与之相比,六面的骰子运动规律则十分复杂,只要投掷的力道稍有偏差,最后的结果都会不一样。 这个问题,等价于混沌系统里面的 “蝴蝶效应” 问题:如果初始条件稍有偏差,系统最终行为的偏差会有多大呢?对初始条件更敏感的骰子,更难以操控。 因此, “所有的骰子都是平等的,而有些骰子比别的骰子更平等。 ” 正是:一粒骰子见世界,道是无常却有常。 谁在掷骰子的时候,会想到一颗骰子可以滚得这么远呢?
[1]https://www.youtube.com/watch?v=G7zT9MljJ3Y [2]https://www.popularmechanics.com/technology/a22856/dice-mathematically-fair/ [3] Diaconis, Persi, and Joseph B. Keller."Fair dice." The American Mathematical Monthly 96.4 (1989): 337-339.
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