撰文 | 蔡天新（浙江大学数学学院教授、求是特聘学者）

在欧洲历史上，十七世纪被认为是“路易十四的世纪”（伏尔泰语），也可以说是法兰西作为一个大国兴起的世纪。而在科学史上，怀特海则把十七世纪称之为“天才的世纪”。在这个世纪里，法国贡献出了三位数学天才，即笛卡尔、费尔马和帕斯卡尔。

众所周知，费尔马的兴趣主要在纯粹数学方面，尤以久而未决并最终在上个世纪末被攻克的“费尔马大定理”闻名于世。而笛卡尔和帕斯卡尔因为多才多艺，并一度生活在巴黎，他们在世时就已声名显赫了。

有意思的是，以上三位天才人物不约而同地降生在外省，其中笛卡尔出生在中西部的安德尔-卢瓦尔省，费尔马出生在南部的塔恩-加龙省，帕斯卡尔出生在中部的多姆山省。这三个省份里都没有什么有名的城市，离开巴黎的距离各有三百到一千公里，而他们的出生地分别是村庄、小镇和省会（法国有九十六个省）。这一点似乎再次证实了我早先的一个论断，即大都市不容易产生天才人物。

为了更好地围绕主题，我们把费尔马撇下不谈。我们发现，作为跨越科学与人文两个领域的天才，笛卡尔和帕斯卡尔有着相似的童年经历，即幼年丧母，自小体弱多病。笛卡尔出生十四个月后，母亲就因患肺结核去世，并把这个病传染给了他；帕斯卡尔同样也是体质虚弱，在他三岁的时候母亲就去世了。幸运的是，两个人的父亲既有钱又受人尊敬，尽管对待子女的态度截然不同。

笛卡尔的父亲和费尔马一样，是地方议会的一名顾问，他在笛卡尔的母亲去世以后，移居他乡并再婚，把儿子留给他的外祖母带大，此后父子俩很少见面。不过，在经济上这位父亲比较慷慨，这使得笛卡尔受到良好的教育，有机会进入国王创办的贵族学校读书。毕业以后，笛卡尔到离巴黎更远的普瓦捷大学攻读法律。三年后，由于对职业的选择举棋不定，也为了看世界，他加入了荷兰军队，后来又转到德国。

二十六岁那年，笛卡尔变卖掉父亲留下的家产，这笔钱可以让他舒心地生活，从此能够自由自在地做自己想做的事情了。他先用四年的时间游历欧洲，其中有两年滞留意大利，然后选择巴黎定居。正是在那一年，即笛卡尔的而立之年，帕斯卡尔的母亲去世，丢下三个幼小的儿女。幸亏拉丁语学者兼数学家的父亲（帕斯卡尔螺线就是他的发现）有一颗仁慈的心，他早早地从法院税务案主审官这个位置上退下来，举家迁往巴黎，为了教育孩子，尤其是体弱多病而又高度敏感的儿子，他没有再婚。

老帕斯卡尔的教学方法注重解决问题，而不是材料的灌输，从而促使小帕斯卡尔拥有一种好奇和冒险的精神，他的动手和实验能力也相当出色。与此同时，考虑到儿子的体质，做父亲的侧重于语言教育，至于数学方面，他只讲授了一些基本的原理。这反而使得儿子对这门学科更为好奇和敏感，据说帕斯卡尔十二岁那年，从未受过相关训练的他独自推导出了几何学中的一条定理，即三角形的三个内角和等于两个直角之和。

从那以后，老帕斯卡尔开始教授儿子欧几里得几何，不久父子俩一同参加了梅森神父组织的每周一次的数学沙龙，这个沙龙是法兰西科学院的雏形。梅森神父是17世纪法国数学界不可或缺的人物，通过组织沙龙和秘密旅行，他同时与三位最顶尖且个性鲜明的同行——笛卡尔、帕斯卡尔和费尔马保持密切而良好的关系。此外，他本人也以梅森素数（Mersenneprime）在数学史上留芳。

相比之下，笛卡尔对数学的兴趣来得比较晚，他是在荷兰当兵期间，看到军营公告栏上用佛莱芒语写的数学问题征答，才有了兴趣。幸运的是，当时在旁边替他翻译的另一位士兵在数学和物理学方面有着较高的造诣，并很快成为笛卡尔的导师。四个月以后，笛卡尔写信给这位战友，“你是将我从冷漠中唤醒的人……”，并兴奋地告之，经过六天紧张的工作，他在数学上有了四个重大的发现。

聪颖的笛卡尔很早就意识到了，数学方法的本质是以命题为起点，这些命题能够通过直觉清晰地得知是真实的，进而可以通过演绎逐步推导出其它结论。也就是说，他既考虑到了数学（可以延伸到科学）内部的严密性，同时又没有忽视感性知觉。这样一来，就消除了存在已久的权威，使人们在自我探寻方面获得解放，这是一种非经验主义的方法，相比亚里士多德三段论式的形式化，它提供了一种崭新的时代精神。

正如笛卡尔指出的，三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，并不能帮助我们发现未知的事情”。也正由于经院哲学的权威性，笛卡尔的方法论后来缓慢地通过非正式的渠道流传西欧。在英国，它启迪了还在剑桥大学念书的牛顿。牛顿后来在自己家的农场里，从一只落地的苹果获得启示，悟出并得到了万有引力定律，正是从内心里接受笛卡尔新思想的结果。至于数学上的成就，笛卡尔的主要贡献是在几何学方面。

今天我们无法知道，笛卡尔当初给他的战友兼导师信里提到的那四个重大发现究竟是什么。不过，在由于受伽利略被宗教法庭判决有罪的影响有意推迟出版的《方法论》的附录里，笛卡尔给出了一些几何学上的发现，其中如二次曲线的分类法、曲线的切线作法以及高次方程的解法等均已经过时。如果让笔者来归纳笛卡尔对数学的主要贡献，可能是以下四点：

其一，算术的符号化，比如我们现在普遍使用的已知数a，b，c……和未知数x，y，z……以及指数表达式就是由笛卡尔率先使用的。

其二，从某个原点出发，延伸出x轴和y轴，建立了历史上第一个倾斜坐标系，并给出直角坐标系的例子，解析几何由此得以诞生。

其三，凸多面体的顶点数v、边数e和面数f之间的关系：v– e + f = 2，后人称之为欧拉-笛卡尔公式。

最后，笛卡尔叶形线，如今在微积分学教程里经常可见。

不难发现，笛卡尔对数学的热情主要来源于方法论的需要。在他看来，知识需要确定性，而数学正好提供了这一点。因此，在短暂的激情之后，笛卡尔便把兴趣转向更为广泛的问题，即为全部科学找到解决问题的方法。事实上，笛卡尔一度对数学也寄予厚望，正如毕达哥拉斯钟情于自然数（他的一句名言是万物皆数），他认为任何问题都可以归结为数学问题，而数学问题又可以通过代数问题归结为方程问题。

相比笛卡尔对直觉和演绎的依恋，帕斯卡尔的数学更多来自经验和实践。17岁那年，他发表了《论圆锥曲线》，不久此文失传，直到一个多世纪以后才重又被发现，文中证明了射影几何学中几个深奥的结果，包括今天被称为帕斯卡尔定理的一个结论：圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线。尽管这项工作当年曾经遭到笛卡尔的嘲讽，如今它仍然是整个几何学中最丰满的结果之一。

两年以后，为了帮助重新出山担任鲁昂地方长官的父亲计算税款，帕斯卡尔开始研制计算机并获得成功，这是人类研制成功的第一台计算机，虽然笨重异常，但可以进行八位数的四则运算。此后十年，帕斯卡尔继续改良并使之完善，陆续造出了五十来台计算机，可惜在广告营销方面不甚得力，留存下来的八台机器中有一台为IBM公司所拥有。为了纪念帕斯卡尔，上个世纪70年代初诞生于美国的一种计算机语言就用他的名字命名。

在帕斯卡尔对计算机的热情告一段落不久，有个嗜赌如命的骑士向他讨教赌博输赢的几率问题，由此引导他深入研究，并与地处偏远南方山区的费尔马频频通信。数学史家一般认为，正是这两个法国人的通信，奠定了概率论这一数学分支的基础。随后，打赌的论证也进入到他最重要的散文著作《思想录》，成为其中最长最有名的片段之一，他的出发点是，上帝要么存在要么不存在，这是一个与打赌一样非此即彼的问题。

帕斯卡尔三角，即贾宪三角

作为概率论研究的副产品，帕斯卡尔还获得了二项式展开系数之间的相互关系，这个系数按升幂排列的形状在西方叫帕斯卡尔三角，它是组合数学的基本结论。其实，这个三角图在北宋数学家杨辉的著作里就已出现了，而杨辉称他的结果出自已经失传的贾宪的著作（早杨辉两个多世纪）。因此它在中国的教科书里被命名为“贾宪三角”或“杨辉三角”，至于它是否是贾宪本人亲自发现并论证，就不得而知了。

帕斯卡尔蜗牛线

无论帕斯卡尔还是笛卡尔，在数学以外的其它科学中都有杰出的贡献。帕斯卡尔定律是流体力学中的一条重要定律，说的是封闭容器中流体的某一部分压强如发生变化，将毫无损失地传递至其它部分和容器壁；同时，压强等于作用力除以作用面积。而帕斯卡尔也成了国际通用的压强单位，简称“帕”。在天气预报中，我们经常会听到台风或龙卷风中心的气压有多少千帕的说法（气压越低风力越强）。另外，据说保险业的第一个数学公式也是由帕斯卡尔给出的。

笛卡尔的兴趣更广（这一点被后来的歌德效仿），他在光学、气象学和生理学等方面都有涉足。例如，在气象学上，他试图用自己建立起来的光的折射理论解释彩虹现象，并通过元素微粒的旋转速度来分析颜色。在生理学方面，他的野心就更大了，消化、呼吸、血液循环和神经系统都是他考虑的范围，他还研究喷嚏、咳嗽和哈欠的原理，知觉的机理以及眼球的晶状体，甚至购买尸体用来解剖。可是，他有关心脏功能的描述受到英国医生、血液循环理论的发现者哈维的责难，正如罗素所言，笛卡尔在这些学科上的工作远不如在数学和哲学方面出色。

在笛卡尔的所有著作中，我们都能发现一种寻求知识统一的努力，他认为各门科学既相互联系又各自独立。例如，《论世界》一书就包含了热、光、潮汐、地球的形成、彗星的特性等自然法则，他试图将所有知识都归纳到建立在少数简单原理之上的某个体系或科学之中，其目的是要使得自然界更为清晰。他在笔记中写到，“如果能明白科学是如何联系在一起的话，我们就不难发现，掌握它们并不比记住一串数字更难。”

相比之下，帕斯卡尔并不具备这种雄心，这或许是从小处在父亲的呵护下的缘故，他与两个姐妹的关系也十分亲密，她们分别在物质和精神方面给予他无微不至的关怀。加上健康状况不如笛卡尔，年纪轻轻医生便建议他不要过多地从事脑力劳动，消遣和娱乐成了两贴良药，于是乎跳舞、打球、狩猎、赌博就成了治疗手段，他这才有机会认识赌友并研究几率。可以说，帕斯卡尔的天才使得他攻无不克，同时也妨碍他思考数学和自然科学的统一问题。

笛卡尔《方法论》扉页，《几何学》是其附录三

帕斯卡尔《思想录》第二版扉页

随着年龄的增长，笛卡尔和帕斯卡尔不约而同地把对物质世界的兴趣转向精神世界。笛卡尔写出了《方法论》、《论世界》、《沉思录》和《哲学原理》；帕斯卡尔则留下了《致外省人书》和《思想录》。不同的是，由于伽利略的受审和被判定罪，使笛卡尔更多地沉湎于形而上学的抽象，这对哲学有利而对科学不利；而帕斯卡尔由于笃信宗教和爱情的缺失，字里行间蕴涵了更多的虔诚和情愫。

如同前一节开头所引述的，笛卡尔是把哲学思想从传统的经院哲学的束缚中解放出来的第一人，黑格尔等后辈尊其为“近代哲学之父”。作为彻底的二元论者，笛卡尔明确地把心灵和肉体区分开来，其中心灵的作用如同其著名的哲学命题所表达的——“我思，故我在”。尽管这一气度不凡的表达受到了罗素等人的质疑，它仍不失为哲学史上最有力的命题之一。从时间上来说，他先把自己发明的二维坐标系用于创建解析几何，再用来创建二元哲学体系。

相反，帕斯卡尔对人类的局限性有着充分的理解，他很早就意识到人类的脆弱和过失，他对世界的思考意在克服内心的焦虑，寻求一种确定性，就如同笛卡尔在数学中寻找确定性那样。而对帕斯卡尔来说，无穷的小或无穷的大都让他感觉到惊诧和敬畏，他的数学发现是在有限的空间里得到的，在谈到宇宙时他写道，“这些无限空间的永恒沉默使我恐惧，”而微小的寄生虫又使之如临“新的深渊”。

帕斯卡尔是那样地笃信上帝，《思想录》原来的书名叫《辩护》，因为此书是在他去世后才出版的，编辑替他改了名字（这一修改现在被证明是正确的，否则它的影响力肯定要大大降低）。在这部堪称法国文学的精品里，帕斯卡尔是这样劝告那些怀疑论者打消疑虑的，“如果上帝不存在，则你们相信他也不会失去什么；而如果上帝存在，则你们相信他就可以获得永生。”

在《思想录》里，有一段论及父亲之死的文字，“如果没有耶稣基督，死亡是可怕的，是令人憎恶的，是自然界丑陋的一面。然而，在有了耶稣基督之后，一切全然改变了，死亡是那样的仁慈、神圣，是信仰者的欢愉。”尽管如此，帕斯卡尔仍把怀疑主义看成是信仰的序曲。当然，他的怀疑主义更多是建设性的，而非破坏性的。他认为，真正的宗教必须比其竞争对手更好地诠释人类的处境。

笛卡尔也有宗教信仰，并且不厌其烦地用多种方法证明上帝的存在，就像高斯对同余理论中二次互反律的痴迷一样。他的确自认为已经证明了，只是使用的方法并不如他在数学中那么漂亮。尽管他的文笔是用迷人的个性化手法写下的，但按照罗素的说法，基本上属于经院哲学的套路（罗素本人则回避了信仰问题）。更有甚者，其中一个本体论的证明后来受到了康德的严厉批评。

笛卡尔认为，人的心灵基本上是健全的，是获得真理的惟一手段。因此，他对待上帝的态度是可疑的，甚至有可能像蒙田一样，仅仅出于习俗的原因才有信仰。而在思维或方法论上，笛卡尔则是一个彻底的怀疑主义者，对他来说，怀疑是一种必要的手段，是哲学和心理学方法中的一个工具。他认为，我们从童年时代起就有了许多偏见，如果得不到纠正，会持续到成年，进一步他指出，“怀疑是一门艺术，它使我们脱离感觉的影响获得解放。”

尽管笛卡尔和帕斯卡尔的年龄相差二十七岁，两人共同旅居巴黎的时间也十分有限，他们仍在某种意义上构成理性和智慧上的对手。1647年的一个秋日，大名鼎鼎的笛卡尔探望了年轻的帕斯卡尔，对后者发明制造的计算机表示赞赏。一般认为，这是他俩惟一的一次会晤，笛卡尔还给正在遭受疾病折磨的帕斯卡尔一些医学上的教导和嘱托。

可是，对帕斯卡尔关于真空存在问题的实验和研究，笛卡尔却不以为然，他认为真空是不存在的，强调在真理的发现中起决定性作用的并非实验。事实表明，笛卡尔的否定是错误的，真空在一定的条件下是存在的。与此同时，帕斯卡尔也批驳了笛卡尔的某些哲学观念，例如对科学过于倚重，强调理智不能认识人生。帕斯卡尔认为：“心灵有其自己的思维方式，那是理智所不能把握的。”这一点并不奇怪，就像笛卡尔在旅途中所发现的，“各地习俗之不同，犹如哲学家见解之各异。”

无论如何，笛卡尔和帕斯卡尔之间的论争是在理智和学术的范围内进行的。事实上，他们两个人都不爱抛头露面。笛卡尔成年以后，大部分时光居住在荷兰，在这个多处地方低于海平面的国家，他不愿意把自己的住处告诉别人，包括一些亲近的朋友，为此还多次更换寓所。他的座右铭是：“隐居得越深，生活得越好。”而帕斯卡尔既没有进过学校，也没有谋求公职，他去得最多的或许是梅森神父的沙龙，他一度频繁光顾社交场所也是由于医生的建议。

值得一提的是，在17世纪的法国，类似梅森神父那种研讨科学和哲学的沙龙在上流社会非常流行，就如同今日中国（步美国的后尘）的文化媒介每每聚焦于娱乐和商业明星，那个时代的理性生活才是巴黎人瞩目的中心。也正因为经历了无限风光和令人羡慕的生活之后，笛卡尔和帕斯卡尔才想过另一种避世的生活。另一方面，比他们稍早的法国同胞、人文主义作家蒙田也曾在三十七岁的时候卖掉自己的官职，退出社交生活，回归自己的庄园。

1655年新年刚过，三十一岁的帕斯卡尔继妹妹之后，进了巴黎西南郊的波尔罗亚尔修道院。此后，他只是在别人请求时才写作，再也不用自己的名字发表（包括数学论文），他的两部散文名作都是在这个修道院隐居期间写成的。而在一个牙痛难忍的夜晚，他还研究了摆线的运动规律，并得出了一系列结果。所谓摆线是指通过在一条平坦的大道上沿直线滚动的车轮圆周上一点的运动轨迹，它有着“几何学中的海伦”的美誉。

帕斯卡尔大学和笛卡尔大学（右）

从某种意义上讲，笛卡尔和帕斯卡尔的生活处于两个极端。一个从小特立独行，另一个自幼得到家庭成员的溺爱；一个周游列国，另一个似乎从未离开过法国。对于帕斯卡尔是否体验过爱情的滋味，持肯定态度的人只能从他的散文作品里寻找线索，而笛卡尔生活中的两个女人和一个夭折的女儿是公开的秘密。不过，大凡天才的思想家都只需要一小会儿炽热的恋情，最好是可望不可即的那种。

在这两个法国人的生命中，必须要提及的两件事是，笛卡尔的幻觉和帕斯卡尔的皈依。1619年初冬的一个夜晚，随军驻扎在德国乌尔姆（爱因斯坦的出生地，巴黎高师所在街道也以此命名）的笛卡尔产生了一系列的幻觉或梦想，归纳起来，可以理解为揭示人生使命的一种启示，即他的著作应该根据几何学原理将所有的知识统一起来。在这之后，笛卡尔才决心变卖掉他父亲留下的家产，以便集中精力做自己想做的事。

帕斯卡尔发明的计算机

帕斯卡尔的两次皈依则相隔了八年时光，第一次使他说服全家加入了宿命论的冉森主义，第二次使他背弃早先的意愿进了波尔罗亚尔修道院。这两次皈依起因于偶然事件，其结果虽然没有让他完全放弃科学研究，但至少那已不再是他渴求的东西；另一方面，法国文学却因此添加了两部杰作。据说帕斯卡尔自小擅长辞令，说话幽默风趣，这可能是他的著作留传后世的一个原因。对笛卡尔而言也是如此，他成为近代哲学的开山鼻祖，不能不说是与那几个梦有关。

笛卡尔人到中年的时候，五岁的女儿死于热病，他的幸福时光戛然而止，同居的女友也嫁人了。此后，他可能爱上了一个比他年轻二十多岁的贵族小姐，从此陷入一种无法摆脱的精神折磨，直到另一个至高无上的女人出现，那便是瑞典女王克里斯蒂娜。女王派出一艘军舰把笛卡尔邀至斯德哥尔摩，于是在那个格外寒冷的冬天，从小爱睡懒觉的法国人不得不每周三凌晨时分来到王宫，为她讲授哲学。几个月以后，笛卡尔因为肺炎复发死在异乡。

“人只不过是一根芦草，是自然界最脆弱的东西。”帕斯卡尔在波尔罗尼亚修道院里这样写道，“但他是一根会思想的芦草”。帕斯卡尔的苦行僧生活极其严格，当他发现自己说话太多，便把一条布有铁钉的带子绑在身上以示惩罚。但帕斯卡尔有一颗博爱的心，在他短促的生命的最后一年，亲手为巴黎市民设计了第一辆公共马车，随后又建议市政府成立一个公司来运作这类新的交通工具，这是今天全世界每个城市的公交汽车服务公司和出租车服务公司的前身。

帕斯卡尔和笛卡尔纪念邮票

在笛卡尔以前，法兰西民族在科学和哲学领域并没有突出的成就。我们可以说是笛卡尔开启了法国人的智慧和理性，就像后来的莱布尼兹对德国人所作的那样。而帕斯卡尔（如同传记作者雅克·阿塔利所言）“不仅促进了法语的繁荣，也促进了法国精神特质的充分发展。……尤其是，通过帕斯卡尔的著作，法国的精神特质显得模糊、复杂、矛盾，混合了理性、对抗性和普遍性。”总之，法国之所以成为法国，是因为有了笛卡尔和帕斯卡尔这两位同代人和智力对手。

2006年1月，杭州

2015年2月，改定