希伯索斯率先发现了无理数，并引起了第一次数学危机，图片来自wpengine.netdna-cdn.com

撰文 | 光子

注：本文节选自光子新书《世界边缘的秘密——科学对生命的惊人回答》（中信出版） 

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为了宣扬自己的思想，古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯创建了毕达哥拉斯学派。这是个有着浓厚宗教色彩的组织，其成员都要经过严格的筛选，一般在数学方面有所建树。他们共用财产，信奉清规戒律，举行独特的仪式，吃简单的食物。

毕氏在学派成员眼里是“真理的化身”，对他像神一样崇拜，绝对信奉其教诲。如毕氏相信任意数均可用整数及分数表示，并不存在无限不循环的数，他的弟子们也像基督徒对圣经一样深信不疑。

让我解释一下这信念是什么意思。如果把数字比喻成道路，毕氏相信任何道路要么有终点（即位数有限，如3.14，仅三个数字就结束了），要么结尾是个圆圈（即无限循环，如3.141514151415……，“1415”无限地循环下去）。当时，这两种数被认为“理所当然”，所以统称为“有理数”。

但存不存在无穷无尽、而又毫无规则的道路呢？也就是说，有没有无限不循环的数（如3.1415926……，后面跟着无穷位随机的数）？没有！毕氏坚信。这类数显得“毫无道理”，所以被统称为“无理数”。

毕氏晚年的时候，弟子中出了个大逆不道的，叫做希伯索斯（Hippasus），居然认为无理数存在，而且提出了缜密的数学证明。毕氏学派对这一“异端邪说”很恐慌，竭尽所能封锁其传播。他们认定希伯索斯违背了毕氏教诲，触犯了教规，对其群起而攻。希伯索斯被迫逃往他乡，毕氏学派的人四处追捕他。

公元前500年，在一个风雨交加的夜晚，希伯索斯在一艘海船上被抓获。船在巨浪中剧烈地摇晃着，海浪和雨水轮番冲击着夹板，发出震耳欲聋的巨响。被五花大绑的希伯索斯躺在夹板上，全身湿透，原本就很稀疏的头发耷拉在额头上。长期的逃亡让他的身体像片树叶那么单薄，一个巨浪打来，他滑出几米，咳嗽着，大口地吐着海水。

在他周围，站着七八个抓获他的毕氏学派成员，双腿分得很开，生怕摔倒，个个被淋成了落汤鸡。其中一个举着火把，火焰在风雨中呼呼地摇曳着，忽明忽暗。这些平日文质彬彬、手无缚鸡之力的数学家们，就像常年风和日丽但此时波涛汹涌的地中海，露出了狰狞的一面。在他们因憎恶而布满血丝的眼睛里，希伯索斯是个叛徒、大骗子，他关于无理数的谬论会毒害全人类的心灵，必须现在就消灭。

一位数学家怒吼道：“只要你承认无理数不存在，我们就饶你不死！”

希伯索斯半天没出声，要不是他眼睛里还有火把的反光，追捕他的人还以为他已经被水呛死了。

“可它们存在，”他用微弱的声音说，“有无数多个！”

 

“胡说！拿一个给我看看！”

 

“√2就是个无理数！”

 

“那只是因为还没算出最后一位！”

一位年长的数学家不耐烦了，“跟这精神病废什么话呀？扔进海里不就结了？”数学精英们七手八脚，有的抬胳膊，有的抱大腿，把希伯索斯抬起来，放在船帮上。

“√2没有最后一位！” 希伯索斯说。

√2的前一万位

没有一个毕氏学派成员做声，他们使劲一推，希伯索斯就像一块石头落进大海，转眼就不见了。一阵骤雨袭来，火把闪动了几下，熄灭了。

在今天，无理数是个中学生就知道的常识，没有谁会对接受无理数有“心理障碍”，而且绝大多数人都不知道有人曾因发现无理数而死。许多读者会觉得希伯索斯死得冤枉，这种冲突真是小题大做。

难道有什么证据说明无理数不存在吗？没有。无理数根本就存在。难道无理数很少，以至于很难发现吗？不是。π，√2，√3……全是无理数，今天我们知道，无理数比有理数多无数倍。

最有意思的是，世上的任何量（如长度、温度、速度等）可以因为所选择单位的不同，既是无理数，又是有理数（参阅小窗口“既是无理数又是有理数”）！无理数和有理数，就像高音和低音，黑和白，不仅不是势不两立的，而且是缺一不可的。它们像一张纸的两面，是无法分开的。

圆周率π

那么，毕达哥拉斯学派为什么要把希伯索斯杀死才后快呢？因为在他们的脑子里有一个无形的笼子，他们无法想象笼子外的事物是可能的（虽然无法证明这种不可能），因此不敢越雷池半步，也不许别人跨过雷池。随着人类智慧的增长，这个笼子在不断扩大，但它仍然存在。世界是无限的，有限的是人类的想象力和探索未知的勇气。

注：本故事纯属虚构。

既是无理数又是有理数

任何一个数学描述，根据单位的不同，既可以是有理数，又可以是无理数。

要用数描述任何东西，都离不开单位。比如，要描述两个苹果，用“个”做单位就是“2”（“2个”），用“对”做单位就是“1”（“1对”），用“半”做单位就是“4”（“4半”）。而且任何丈量单位都是人为的选择，中国人用尺，英国人用英尺，一般科学家用米，天文学家用光年，不存在哪一个比另一个更“理所当然”。

要用数描述一个正方形的边长，也必须先选择长度单位。如果用边长本身作单位（权且叫它“光子米”），则边长为1“光子米”（如下图所示），为有理数。

假如选择边长为丈量单位

但我们也可以选用对角线的长度做丈量单位。如果定义对角线为1“光子米”（如下图所示），则边长为1/√2“光子米” ，是无理数。

假如选择对角线为丈量单位

同一条边长，因为丈量单位的不同，有时是有理数，有时是无理数。

现实中的测量，如温度、速度等，都可以表示成一条线段的长度，所以它们都可以既是有理数，又是无理数。这说明任何描述都不是绝对的，会因为观察者所选取的单位的不同而不同。

注：本文节选自光子新书《世界边缘的秘密——科学对生命的惊人回答》（中信出版），标题有改动。该书基于现代科学实证，拆解并颠覆了传统世界观，对生命的意义进行了崭新的探索和诠释。光子还著有《我·世界——摆在眼前的秘密》，他的书被誉为“穿着科学外衣的生命之书”。